Приложение 1

 

              Золотой ряд Фибоначчи

 

Спираль – одухотворение круга

Вл. Набоков[1]

 

 

Задача разделения отрезка в среднем и крайнем отношении (золотое сечение) с помощью циркуля и линейки занимала геометров со времен глу­бокой древности, поскольку была связана с построением правильного пяти­угольника, и описана в «Началах»  Эвклида (III век до н.э.)

Чтобы разделить в среднем и крайнем отношении отрезок АВ, нужно найти на нём такую точку С, чтобы меньшая часть отрезка относилась к большей так же, как большая часть относится к целому:

СВ : АС = АС : АВ

- Фиг. 8.1.

 

 

Эту пропорцию легко выразить в виде квадратного уравнения: если принять целый отрезок АВ за 1, а его большую часть за х, то  , отсюда 1 - х = х²  или  х² + х - 1 = 0, и положительное решение этого уравнения  будет .

Этому отвечает следующее геометрическое построение.

Чтобы на данном единичном отрезке АВ отложить часть, равную , используется теорема Пифагора. Сперва АВ делим циркулем пополам и откладываем ½ AB на перпендикуляре, проходящем через точку В. Пусть в  прямоугольном треугольнике ABD катеты AB = 1 и BD = ½, отсюда гипоте­нуза AD = . На неё переносим отрезок   BD = ½, тогда  . Эту часть откладываем на АВ. В прямоугольном тре­угольнике ABD    (AC+BD)² =AB²+BD²,    откуда AC² + 2AС х BD =AB²,  AC² + AВ х AC = AB², и AC/AB =(AB─AC)/AC,  что и требовалось найти. В дей­ствительности, таким образом, задача может быть сведена к нахождению геометрическим способом значения   путём построения прямоугольного треугольника с отношением катетов 1:2 - Фиг. 8.1.

Пока рассмотрим более детально основное выражение, вы­текающее из деления отрезка в среднем и крайнем отношении. Его удобно записать в виде

1/х = х + 1      (1) ,

где х есть значение, обратное которому увеличено на единицу,

а также

                            1/1/х = 1/х ─ 1,

где величина обратная  1/х  уменьшена на единицу. Обратное значение есть

, и оно обозначается буквой φ («фи», золотое сечение),   составляя  в десятичном выра­жении   1,6180339…  

 = 1/φ = φ – 1 = 0,6180339…

 

Величина  φ =   есть удвоенный косинус угла  36⁰ = π/5, а обратная ей  - удвоенный синус угла  18⁰ = π/10‚ и этими двумя отношениями  геометрические элементы пя­тиугольников и последовательно вписанных в них пятиконечных звезд (пен­таграмм) связываются  беско­нечным рядом золотой про­порции - Фиг. 8.2.  Как ею оправдывается это название, мы вскоре увидим.

Из основного вы­ражения (1)‚ в частности, следует, что степени  φ  и  1/φ при  сложении могут образовывать целые числа -  то есть служить основой системы счисления - несмотря на то‚ что сами эти слагаемые иррациональные, т.е. являются беско­нечными непериодическими дробями. Так, например,

 

                                                

 

Этот факт, в частности, иллюстрирует хорошо знакомое математике положение, что понятия конечного и бесконечного относительны - в  итоге  завися  лишь  от  точки зрения.

Отношение золотой пропорции аддитивно: «золотые» прямоугольники, стороны которых соотносятся как φ, могут прикладываться друг к другу своими сторонами (меньший своей большей стороной - изнутри к меньшей стороне большего) с образованием их бесконечного ряда, запол­няющего всю плоскость. Связующим элементом при этом выступают квад­раты  - Фиг. 8.3. Таким обра­зом, кирпичи или блоки, изготовленные  с «золотым отношением», задают «модуль», благодаря которому все элементы конструкции могут быть свя­заны один с другим в единое гармоничное  целое.

 

Это замечательное  свойство наряду с прочими объ­ясняет тот  повышенный инте­рес, который проявляли к золо­той пропорции архитекторы, скульпторы и художники со времён глубокой древности. Вполне вероятно, что  отно­шения 1/φ, φ, φ², φ³ и т.д. входили в канон «объективной эсте­тики», что восхищает наш глаз в пропорциях античных сооружений, скульптур и колонн:

                    

                     «Настроение‚ создаваемое зодчеством‚ сродни воздействию музыки»[2].

 

«Золотая середина» -  она и есть золотое сечение‚ поскольку  обладает динамической потенцией развёртывания. В природе широко распространена изящная кривая – логарифмическая спираль (в раковинах моллюсков, побегах растений и прочих формах), тесно связанная с золо­той пропорцией - Фиг. 8.4. Универсальность отношения φ прослеживается, как мы покажем далее, и в ряде натуральных чисел Фибоначчи.  Из анализа пифагорейского музыкального строя мы уже

увидели, что эстетические воззре­ния древних имели в своей основе мистическую онтологию и выполняли, по сути, магическую задачу связи человека со сверхчувственным миром архетипов.

Археологи нашли «пропорциональные циркули», которыми пользова­лись  старинные зодчие‚ - оказывается,  калькулятор  для вычисления про­порций был вовсе не нужен:  устройство циркулей  таково, что их ножки фиксировались как раз на величину отрезков 1:, 1: и т.д.  К аналогич­ным результатам приводило и использование «живых мер» длины - локтей, саженей  и  прочих, когда  метром  служили  части реального челове­ческого тела[3].

 

Отношение‚ близкое к квадратному корню из φ‚ обнаруживается в тан­генсе угла наклона боковых граней пирамиды Хеопса  (tg 51⁰51′ = 1,273…)‚ и это число близко к 4/π   (4 : 3,1416 = 1,273…) и корню из  ϕ (1,272…)‚ а  также указывает на окружность, разделённую  на 7 частей  (360⁰ : 7 =51⁰26′ - различие в 0.1%)[4]. Если же учесть, что измерение с точностью до четвёртого знака такого крупного объекта‚ как Великая пирамида‚ находится на пределе возможностей наших изме­рений, то это означает,  что её пропорция вполне может включать од­новременно  и  первое,  и  второе  и третье отношения.

 

В Европе поиски «канона красоты» - и, вследствие этого, всплеск глубо­кого интереса к геометрии, правильным многогранникам и золотой пропор­ции - были приурочены к эпохе «высокого» Возрождения (XV век). Стремлением художников и мыслителей ранга Леонардо да Винчи и Александра Дюрера было не только вновь обрести утраченные лёгкость и свободу стиля древних греков, но и заново открыть в себе веру в тот абсолютный идеал красоты, что вдохновлял когда-то строителей Афин или Дельф. Хотя этому и не суждено было сбыться, «титанами Возрождения» был дан толчок тому неис­товому «фаустовому» стремлению, что вот уже более полутысячелетия гонит западную цивилизацию вскачь к её неведомой цели.

 

Йоганну Кеплеру (XVI в.) - уже упомянутому нами в связи с платоновыми телами‚ движением планет и формою снежинок - принадлежит следующее высказывание:

 

    «Геометрия обладает двумя великими сокровищами. Первое – это теорема Пифагора, второе – деление отрезка в среднем и крайнем отношении. Первое можно сравнить с мерой золота, второе – с драгоценным камнем».

 

  Кеплером  впервые было записано и рекуррентное выражение (3) для ряда Фибоначчи – последовательности целых чисел, происхождение которой связывают с именем купца по профессии, Леонардо из Пизы  по прозвищу Фибоначчи («сын доброй природы»). Говорят, что Леонардо Пи­занский пришёл к этому ряду, решая задачу о разведении кроликов. В начале  трина­дцатого века знание математики было редкостью, и Фибоначчи опубликовал свои открытия в трактате   Liber de abacci («Книга об абаке», 1202 г.).

Его задача формулировалась так: сколько пар кроликов мы получим че­рез определённое число месяцев, если  в начале имеем 1 пару новорождён­ных кроликов, размножаться кролики начинают с возраста двух месяцев‚ и приносят в среднем 1 пару приплода в месяц.  Решение  таково: в первый месяц 1 пара,  во второй - всё ещё одна пара, в третий  1+1=2 пары, в четвёр­тый (1+1)+1=3 пары, в пятый - (1+1)+(1+1)+1 = 5  пар и т.д. В результате получается ряд, где каждое последующее число есть сумма двух пре­дыдущих:

                     1,   1,   2,   3,    5,    8,   13,   21,   34…  a_n ,                (2)

это и есть знаменитый  натуральный  Золотой  ряд  Фибоначчи.

Если два предыдущих члена последовательности обозначены a_n-1 и  a_n, то следующий её член

                                                 a_n+1 = a_n-1 + a_n                      (3).

 

Трудно сказать, правда ли‚ что кролики размножаются подобным образом:  мы думаем, задачу про разведение кроликов Леонардо Пизан­ский изобрёл нарочно с той целью, чтобы продемонстрировать нам этот замечатель­ный ряд чисел[5].     Пришлось ждать до конца шестнадцатого века‚  пока Иоганн Кеплер не привёл строгое доказательство, что отношение  соседних членов этой про­грессии при её возрастании сходится к значению золотого сечения φ.  Схо­дится  ряд довольно быстро:

если 1:1=1,   2:1=2,   3:2=1.5,   то уже 13:8=1.625,

а восемнадцатый член имеет уже шесть десятичных знаков, совпадающих со значением :

 2584:1597=1.6180338.

 

Доказательство может быть построено на главном свойстве золотого сече­ния, которое называется аддитивным: умножение φ на φ эквивалентно при­бавлению единицы, возведение в куб – прибавлению единицы уже к двум φ,  и т.д. Это вытекает из основного выражения    1 + 1/ φ = φ:

         φ ² = φ + 1,

         φ ³ = φ (φ + 1) = φ² + φ = 2φ + 1,

         φ ⁴ = φ (2φ + 1) = 2φ² + φ = 3φ + 2,

         φ ⁵ = φ (3φ + 2) = 3φ² + 2φ = 5φ + 3    и т.д.,

  т.е.     φ ⁿ =  a_n φ  + a_n-1 ,  где   a_n – число ряда Фибоначчи             (4).

 

Таким образом, все образующиеся  коэффициенты при φ в свою очередь возни­кают как члены ряда Фибоначчи (a_n). Сумма двух соседних членов геометрической прогрессии       1,    φ,     φ ²,   φ ³ … φ ⁿ   на основании этого представляется в виде 

                                                                                     φ ⁿ + φ ^n-1 = φ (a_n  + a_n-1) +(a_n-1  + a_n-2) = φ ⁿ⁺¹, 

т.е. удовлетворяет рекур­рентному выражению (3)  для ряда Фибоначчи.

Размножающиеся кролики вновь всплыли  в ХХ веке, через семь столетий после доброго Леонардо. Американскому математику Натану Альтшулеру в 1917 г.  удалось получить выражение для φ, где оно возникает как предел бесконечного  квадратного корня:

 

 

По-видимому, это может следовать из того обстоятельства, что оно же выражается самоподобной непрерывной дробью                                 

,                                                                                

                                                                              

о чём знал ещё К.Гаусс.

 

Если мы изобразим на клетчатой бумаге изобразить единичный квадрат как соответст­вующий первому члену a₁=1 ряда  чисел Фибоначчи, на его нижней стороне другой такой же квадрат  a₂ =1, на  их общей левой стороне 1+1 квадрат  2х2, отвечающей третьему члену ряда а₃, затем на стороне прямоугольника  2+1=3   квадрат 33, отвечающий четвёртому члену а₄ и т.д. (Фиг. 8.4.), то получим геометрический аналог последовательности Фибо­наччи на плоскости из квадратов и прямоугольников, пропорции которых быстро становятся «золотыми»:

 

 

Если ставить ножку циркуля всякий раз в ближайшую к центральной точке вершину очередного квадрата, вычерчивая четверть окружности с ра­диусом, равным его стороне, мы проведём  красивую спиральную кривую, «имитирующую» логарифмическую (равноуголь­ную)  спираль  (Фиг. 8.4), с коэффициентом возрастания ϕ при повороте на каждые четверть окружности и углом наклона касательной относительно перпендикуляра к радиус-вектору порядка 17º2´.

Равноугольной она называется потому, что является геометрическим ме­стом точек, касательная к которым образует постоянный угол с радиус-вектором, проведённым из неподвиж­ного полюса.

Огибающей логарифмической спирали будет точно такая же спираль, и вообще в ней усматривается свойство инвариантности: если увели­чить или уменьшить эту кривую в несколько раз то, поворачивая, её всегда можно уложить всеми своими точками «саму в себя». «Мельчайшая окрестность» пространства эквивалентна «всему пространству», если задавать его характеристикой логарифмической спирали - что позволяет говорить об «атомарном зародыше пространства». В буддизме таким символом  является спирально закрученная раковина, обо­значающая первозвук  (шабда) - или элемент бесконечного пространства  (акаша).

 

Поскольку каждый последующий «золотой» квадрат со стороной a_n+1 строится на стороне прямоугольника как сумме сторон двух предшествующих по порядку квадратов a_n-1 и a_n - и осуществляя при этом поворот на четверть ок­ружности (π/2) - то ими отмечены четыре (а также  восемь) направлений на плоскости.  При том заметим, что каждый  квадрат (кроме первых четырёх)  соприкасается с шестью другими (3+1+1+1),  сам являясь седьмым[6]. Это даёт нам параллель шести основным интервалам диа­тонической гаммы и шести её ступеням с седьмой (единичной)  ступенью, а также паттерну тетрактиды (1:2:3:4), образующему фрактальное множе­ство пифагорейских гармонических чисел на промежутке октавы.

 

«В раннем буддизме [хинаяны] опыт пространства признавался как важный фактор медитации, при котором состояния сознания… проецировались одно за другим в шести направлениях пространства, а именно - четыре стороны света, зенит и надир. Эти направления должны быть чётко представлены, для того чтобы провести сознатель­ный опыт ощущения пространства и постижения его человеческим ра­зумом»[7].

 

От «золотых прямо­угольников» можно откладывать последовательные квадраты «вовнутрь», и тогда этот процесс может быть продолжен до бесконечности, спирально сворачи­ваясь к некоему недостижимому полюсу, далее неразложимому (греч. ατομοs, «атом»). Эта «центростремительность» пространства может быть открыта, на основе Фибоначчиевых квадратов,  в каждой его точке‚ и она эквивалентна функции «парадоксального переходя­щего элемента»[8] -  центра отсчёта, без которого нам не обойтись в модели счёта и времени.

В.С. Дылыкова-Парфионович говорит далее:

 

«Согласно буддизму Ваджраяны, пространство создаётся одним движением, одновременно порождающим и его кривизну. Это дви­жение является криволинейным, концентрическим, образующим бесконечную спираль»[9].

       

Модель такого пространства содержит индийская и тибетская мандала с че­тырьмя обозначенными пространственными «входами» или «мировыми об­ластями», устроенная часто в форме ступенчатой ступы, центральная точка которой - «ось мира» (или гора Меру) - окружена концентрическими ок­ружностями «мировых вод» или кругами «лепестков лотоса» (числами‚ соответствующими эманациям творения) - Рис. 3.

 Эта же модель строения заложена в архитектуре храмов, центральный  кубический камень которых представлен алтарём[10]. Идея сакрального пространства или про­странственного архетипа обнаруживает тесную связь с концепциями са­крального времени и «вечного повторения», а также Вечности.

Свойством равноугольной спирали проявлено действие динамического паттерна, разворачивающего двумерную плоскость как фрактальное числовое множе­ство. Ана­логичная  модель существует, возможно‚ и для пространства трёх измерений‚ если привлечь дополнительную ось комплексных чисел.

Полюс золотой спирали находится в точке пересечения прямых, проведённых через крайние вершины противолежащих друг другу квадратов (Фиг. 8.4а), что вытекает из условий подобия. Действительно, если  стороны вписанных прямоугольников соотносятся как ϕ, то эти прямые являются  взаимноперпендикулярными диагоналями золотых прямоугольников n и n+1-го порядков,  отсекая  всякий раз подобные треугольники с углом tg = ϕ. Центры кривизны располагаются на вершинах квадратов, в которые мы ставили ножку циркуля, и образуют эволюту (геометрическое место центров кривизны) золотой спирали.  Проведённые через эти вершины лучи дают другую пару перпендикулярных диагоналей в системе золотых прямоугольников (построенных на диагоналях квадратов) с тем же полюсом, и рисуют восьмиконечную «розу ветров» золотой спирали (Фиг. 8.4а). Эволюта представляет собой такую же золотую спираль, смещённую относительно исходной на угол, приближенный к 72º или 2p/5, - и это означает, что здесь фрактально запрятана пентаграмма Фиг. 8.2. Плоскость вмещает всего пять таких спиралей, являющихся эволютами друг друга, а также тибетским символом пяти элементов - Фиг. 8.4 б.

В книге «Геометрия и искусство» Д. Пидоу пишет так[11]:

 

«Существует равноугольная спираль, служащая довольно точным приближением к этой спирали, но истинная спираль вместо того, чтобы касаться сторон последовательных квадратов, пересекает их под очень малыми углами. Разумеется, какую спираль считать истинной и какую искусственной - дело вкуса», -

 

заключает он, но пускай тот, кто лучше нас разбирается в математике, разъяснит, что же имел в виду уважаемый автор: ведь «истинная кривая» проходит через точки вершин квадратов, лежащие на диагоналях, вовсе не пересекая сторон!

 

Говорят, что первые исследования логарифмической спирали принадле­жат Декарту, основателю философии Нового времени (1638 г.), а в конце XVII столетия многие замечательные её свойства были описаны Якобом Бер­нулли. Этот выдающийся математик был настолько очарован равноугольной спиралью, что на своём надгробии завещал высечь алхимический девиз:

 

«Eadem mutata resurgo»               

                                («Изменённая, я воскресаю вновь»).

 

 При наклоне равном нулю равноугольная спираль переходит в тривиальную окружность, что объясняет эпиграф, приведенный нами в начале  раздела, а при  90⁰ - в (не имеющую начала!) прямую. Логариф­мическая спираль обладает и другими качествами, кото­рые мы не станем  рассматривать здесь. Приведем   высказывание  Пидоу:

 

 «Можно не сомневаться в том, что кривые навсегда останутся одним из наиболее интересных творений математики».

.

  Не менее любопытные свойства  обнаруживаются в нату­ральном ряде  чисел Фибоначчи.

Если возводить φ в последовательные степени n, можно заметить, что результаты довольно скоро сходятся к целым значениям: так‚ если j³ = 4.236...‚ j⁴ = 6.854...‚ то уже j⁹ = 75.9988...‚ и т.д. Округленные до целых степени φ отвечают так называемым числам ряда Люка α_n, получаемым при суммировании членов  Фибоначчи через один:

 

 

                   α₀= 1,      α₆= 18,          α₁₂ = 322,

 α₁= 2,      α₇= 29,          α₁₃ = 521,      

 α₂= 3,      α₈= 47,                      и т.д.

 α₃= 4,      α₉= 76, 

 α₄= 7,      α₁₀= 123,

 α₅=11‚     α₁₁=199,

 

  Производные от ряда Фибоначчи числа натурального ряда Люка также удовлетворяют рекуррентному соотношению    a_n+1 = a_n-1 + a_n‚  и  их отношение α_n+1/α_n точно также стремится к φ. Члены ряда Люка можно использовать  как коэффициенты в представлении чисел Фибоначчи.

Например, от α₁= 2  можно строить ряд чисел Фибоначчи, начиная  с  четвертого члена    а₄ = 3  по формуле      а_n+2 =2a_n + a_n-1    (n ≥2):

 

                                                                    а₄ =2x1 + 1 = 3,

                                                                    а₅ =2x2 + 1 = 5,

                                                                    а₆ =2x3 + 2 = 8     и т.д.

Вообще, поскольку, согласно (4)

                                                                    φⁿ = a_n φ + a_n-1,   

 α_n x a_n = a_2n    есть член ряда Фибоначчи с вдвое большим по­рядковым номером,  чем индекс  при α. Так, двадцать шестой член ряда Фибоначчи 121393 равен тринадцатому числу Люка  α₁₃ = 521, умноженному на трина­дцатый член Фибоначчи: 121393 = 521 х 233. Далее от этого значения можно откладывать все последующие числа а _n>26  по формуле 

а_n>26 = 521 x a_n-13 + a_n-26 :

 

                     а₂₇ = 521 х а₁₄ + а₁ = 521 х 377 + 1 = 196418‚      и т.д.

 

В общем виде

                              а_n>2m = α_m x a_n-m ± a_n-2m,

  знак (+)‚ если φ^m превышает целое значение α_m,  и (-), когда φ^m меньше целого значения α_m.

Это лишь один из возможных способов представления чисел Фибо­наччи на основании членов этого же ряда.

Любопытно, что  двенадцатое (α₁₁ =199) и четырнадцатое (α₁₃=521) числа Люка - являющиеся простыми - в сумме дают  720 (количество гра­дусов сферы или  360 х 2), и начиная с α₂₅  и тринадцатого члена Фибоначчи все числа  ряда Люка представимы через 720 и числа Фибоначчи:

α₂₅= 233х720 + 1,

α₂₆ =377х720 + 3    и т.д.

Вообще говоря, «подобный Фибоначчи» ряд можно начинать складывать от любого числа, которое в этом случае становится его модульной единицей, а каждый аддитивный ряд, в свою очередь, можно разложить на совокупность составляющих его рядов Фибоначчи. Читатель может сам взять калькулятор в руки и предаться нехитрому числовому развлечению.

 

А вот вам ещё способ фрактального представления (включающий малые колебания  ± относительно целых значений, которые могут быть в свою очередь разложены в ряды Фибоначчи):

 

                                                                            

 

дальше попробуйте продолжить сами.

                                       

 

Очевидно, что свойства золотого ряда аналогичны «золотой спирали», только выражены они на оси натуральных чисел.

 

Как числа Люка образуются при сложении через одно чисел Фибоначчи, так мы можем сложить через одно и числа Люка:

 

В результате мы получаем всё тот же ряд Фибоначчи (без первой единицы),  каждый член ко­торого умножен на пять (!)

 

Математик, конечно, скажет, что ничего таинственного в этих числах нет, поскольку существует-де формула Бине (1843 г.) для общего члена ряда Фибоначчи  - и, следовательно,  ею определяются  все свойства его чле­нов:      

 

                                                         

 

В силу этой формулы в действие вступает игра чётных и нечётных пози­ций не менее интересного числового объекта - треугольника Паскаля, со­держащего коэффициенты разложения бинома (а+в)ⁿ, сумма которых по­строчно составляет  2ⁿ  (Фиг. 8.5.).

Известно‚ помимо того, что биномиальные коэффициенты очерчиваются кривой нормального распределения Гаусса,  уравнение которой связывает ме­жду собой  два важнейших  трансцендентных числа - π и e:

                                                           ;

 

а знаменитая формула Эйлера демонстри­рует и вовсе поразительный пример способно­сти математики одинаково называть разные вещи:

 

                                                                                                                                                        

 

На числе Эйлера (е – основание натуральных логарифмов) построено выражение для равноугольной спирали‚ и оно имеет весьма широкое применение в математике и физических расчетах‚ - отображая, веро­ятно, все то же свойство  динамической пятерки, что мы  обнаруживаем в ряду Фибоначчи и логарифмической спирали - изменяясь, неизменно оста­ваться  собою. Число π - одно из самых известных и при том самых зага­дочных - само возникает как предел бесконечных знакопеременных рядов,  построенных на основе натуральных чисел.

 

Кажется, «лазейка в трансцендентальное» находится где-то в положении «очень тепло» к ряду золотой пропорции - памятником чего, говорят, и служит Великая пирамида… Размышления о числах в связи с уровнями сознания можно найти в книге Ф. Меррелл-Вольфа[12].

 

Золотой ряд Фибоначчи - как бы ни казался он «прост» - содержит  в себе‚ кажется,  достаточно таинственного. Если раскладывать числа Фибоначчи на простые сомножители (поскольку каждые пять номеров добавляют в его членах один десятичные разряд, то желательно для этого воспользоваться компьютерной программой),  открывается прихотливая  числовая игра.

Номер члена ряда задаёт цикл, с которым появляются все входящие в него сомножители.  Например, 2 входит в каждый третий по счёту член,  5 - в каждый пятый, 7 - в каждый восьмой, 11 - в каждый десятый   член  и  т.д. В номер же, образованный  произведением  данного сомножителя и его цикла этот сомножитель входит уже во второй степени‚ - например,  семь в квадрате или  49 появляется в 7х№8 = №56-м члене, 13²  - в 13х№7 = №91-м члене и т.д.

Простое число, впервые входящее сомножителем в член Фибоначчи,   отличается на единицу (плюс или минус) либо от номера данного  члена, либо от кратного его номеру.  7 есть восьмой член ряда, 11 появляется в десятом члене, 17 возникает впервые в девятом члене, поскольку  9х2 = 18;   пятьдесят три - в  двадцать седьмом члене, поскольку  27х2 = 54  и т.п.

 

В силу своих особых свойств ряд золотой пропорции обнаруживает типичные свойства числового фрактала. Каждый член Фибоначчи содержит (или входит в) особые паттерны, не описываемые общей формулой Бине.  Они напоминают, скорее,  рост кристаллов или развивающиеся  структуры  множества Мандельбро. Так‚  одиннадцать в квадрате  должно войти делителем только в 110-м члене, поскольку №110 = 11 х №10, но оно предваряется в каждом члене,  делимом на 5,  начиная уже с пятнадцатого номера:

 

а₁₅ = 610 = 5( 11² + 1 ),

а₂₀ = 6765 = 5х11( 11² + 2 ),

а₂₅ = 75025 = 5 [11² ( 11² + 3 ) + 1],

а₃₀ = 832040 = 5х11[11²( 11² + 4 ) + 3],

а₃₅ = 9227465 = 5{11² [11² ( 11²  + 5 ) + 6] + 1}‚ и т.д.

 

Как мы могли заметить ранее, не только золотая пропорция, но и выражающее её число j, несмотря на иррациональность, бесконечно повторяет себя, если вглядываться в него должным образом. Применение «кроличьего правила»

                                         0®1,

1® 10

 генерирует бесконечную самоподобную «фибоначчиеву последовательность» из единиц и нулей:   1, 10, 101, 10110 и т.д., в которой с интригующим постоянством отчётливо воспроизводится восьмибитное сообщение 10110101 — что является, в некотором отношении, октавой[13]. К слову сказать, восемь символов содержит «тривиальное» выражение для j  , а также греческое слово «гармония».

 

Поэтому укажем на некоторые другие черты странного родства.  Вспомним, что в пифагорейской четвёрке АHMB M есть среднее арифметическое, а H - среднее гармоническое крайних A и B (Гл. 3). Нетрудно показать, что этим же соотношением связаны между собой и любые четыре последовательных члена золотой пропорции.

То, что ряд золотого сечения открывается двумя единицами - как мы уже отмечали выше - служит хорошей иллюстрацией «прин­ципа неразличимости», применяемого в изложении мистических учений (теория космосов и проч.), а равно и в физике (неопределённость Гейзенберга квантовой механики или сингулярное состояние Вселенной современной космологической модели) — Гл. 4.

Далее, первые три члена Фибоначчи в сумме образуют четверицу (1 + 1 + 2 = 4) - тетрактиду‚ а первые четыре  - семерицу   (1 + 1 + 2 + 3 = 7) или гептаду, тесно связанную с  четверицей‚ - лежащих, как  было показано, в основе паттерна порождения пифагорейских гармонических чисел.

 

Пятый член ряда Фибоначчи совпадает с самой пентадой, т.е. равен пяти, а из свойств пятерки вытекает сам принцип золотого сечения - взгляните на устройство пентаграммы; а также и строение нашего про­странства. Известно, что существует только пять правильных (платоновых) тел;  пятью  произвольными  точками однозначно определяется одно из пяти конических сечений - возможных траекторий движения, описываемых урав­нениями II степени‚ и т.д.  О цикле пяти в связи с Октавой мы достаточно говорили выше: он соответствует пентатонике - музыкальной гамме без полутонов.

Основанное на пяти расчленение отвечает наиболее характерному  морфологическому типу строения в царстве животных  - и, наряду с ним, 4 и 3 столь же обычны в растительном мире. В то же время семеричное расчленение у  растений (в отличие от животных) представлено крайне редко,  в тех же видах, у которых оно присутствует, можно ожидать проявления особых свойств.

 

Шестой член Фибоначчи есть огдоада (8) или октава, им же указывается на шесть основных интервалов семиступенной гаммы (диатоники), образованных шестью квинтами (Гл. 3).

В сумме с предыдущим членом (5) восьмёрка дает 13 – седьмой член ряда Фибоначчи и завершённый  полутоновый (хроматический) цикл (№1фа - №13фа), отмечающий первое образо­вание микротона при переходе квинтами в седьмую октаву. Фра Лука Пачоли - друг  Леонардо-да-Винчи, разделявший его геометрические интересы - обнаружил ровно 13 проявлений «божественной пропорции» в пяти правильных платоновых телах[14]. 13 соответствует и числу полуправильных (так называемых архимедовых) тел.

 

Восьмой член  Фибоначчи - собственно октава ряда -  21  или  «три семёрки» - в тайноведении имеет зна­чение не меньшее‚ чем 12. Оно есть сумма  треугольного числа 6, следующего непосредственно за триадой (первым арифметическим «треугольником»)‚ и соотнесено с женским (Софийным) принципом[15]  (Фиг.  8.6. а‚b).

Двадцать один  отвечает и количеству ступеней в не­которых звукорядах энармоники, использующих четверти тона.

 

Девятый член  (34)  - есть удвоение 17-ти,  третьего  простого числа Ферма (после тройки и пятерки). Тридцать четыре даёт число ступеней в двух октавах по 17 интервалов  (7 основ­ных ступеней, 5 диезов и 5 бемолей).

 

Наконец, декада Фибоначчиева ряда - десятый её член - это 55‚  пять единиц  первого и пять второго десятичного разрядов.

         «Десятерица порождает 55», -

 

 сказано в «Теологуменах арифметики» Ямвлиха (IV в.), указываю­щего на ряд важнейших свойств этого числа (Гл.4).

 Напомним, что 55 составляет сумму  «двойных и тройных чисел» (1, 2, 4, 8  и 1, 3, 9, 27), приводимых  Платоном в «Тимее»  в качестве основания расчленения единого тела Космоса -  образования Октавы («души космоса») и чисел космического времени. 55 - это «треугольник» числа 10; без «лишней фибоначчиевой единицы»  54 отвечает первому (после пяти и двенадцати)  циклу Октавы - микротоновому (№54 фа)‚ и оно фрактально включается также и в следующий октавный цикл - фа №666 (54=3х18, 666=12х54+18).

 

Наконец, двенадцатый член ряда 144 - это само 12 в квад­рате (!).

И‚ кстати‚ в который по счёту член ряда Фибоначчи впервые входит сомножителем число периода 665? Совершенно верно‚ в триста шестидесятый.

 

 

Принцип золотого сечения - будучи столь универсальным - конечно, не мог быть обойден вниманием специалистов в области эстетики‚ техники и медицины. Другое дело, что в искусстве он проявляется‚ скорее‚ неосознанно (художники редко пользуются «объективным каноном»), наряду с другими тонкими соответствиями. Существует большая литература по этому вопросу. А.Ф. Лосевым  приводится, в частности, ссылка на обширный материал по метроритмической организации музыки на основе золотого сечения, собранный профессором Московской консерва­тории  Г.Э. Конюсом[16].

 

>>>>

на главную