Приложение 2

 

    53-х ступенный музыкальный строй. Начала теории.©

 

 

Нет сомнения, что природа во всём остаётся себе подобной

Пифагор

 

Есть первофеномены, божественную простоту которых

 мы не должны нарушать и ущемлять

Гёте

 

Как считается,  пятидесятит­рёхступенный строй был впервые описан Н.Меркатором[1] (не путать со знаменитым картографом) в начале XVIII в., а позднее переоткрыт Танакой и Бозанкетом[2]. Есть веские основания полагать‚ что принцип его был известен гораздо раньше - в древнем Китае (по крайней мере с династии Чжоу - XIII-III вв. до н.э.)‚  в Передней Азии времён создания книг Моисея‚ а также в узких кругах средневековой Европы. Роль этой системы не была ограничена очевидным музыкальным значением: её числовые свойства не могли не привлекать к себе внимания эзотериков. 53 ступени и нумерологически отвечают октаве: 5+3=8‚ и следуют её паттерну 13-ти:  52 порождающие квинты есть 4х13. Лежащая в основе гармонии фрактально-числовая закономерность может быть прослежена до столь отдалённых областей‚ как солнечно-лунный цикл‚ майанский календарь и  древнекитайский  И цзин. Помимо этого‚ 53-х ступенный звукоряд в значительной мере универса­лен, поскольку может совмещать в себе качества темперированного, квинтового (пифагорейского) и чистого строев. В первой половине ХХ века интерес к 53-ступенной системе проявлял русский композитор и музыкальный теоретик Л.Л. Сабанеев[3].

 

53-х ступенное разделение октавы исподволь зафиксировано уже обозначениями обычного двенадцатиступенного строя. Поскольку в музыке определено считать квинтами вверх тональности диеза, а квинтами вниз - тональности бемоля, при замыкании круга квинт принимаемые энгармонически равными повышенные и пониженные ступени (Фиг. 9.1) на деле оказываются разделены интервалом пифагорейской коммы. Как знают музыканты, энгармонически равные ноты исполняются на нетемперированных инструментах (а также воспринимаются на слух) в действительности не одинаково, более того, одна и та же клавиша в различном музыкальном контексте может соответствовать двум разным звукам (например, до^# и ре^b,  или си^# и до).

         Как было показано (см. Октава), при последовательных  повышениях на квинту и сведении всех образую­щихся ступеней в исходную октаву первые 11 квинт (вместе со ступенью‚ взятой за исходную) дают семь основ­ных и пять пониженных на полутон музыкальных ступеней, а с 12-й квинты эта гармоническая серия повторяется со сдвигом всех ступеней вверх на мик­роинтервал пифагорейской коммы (микротон I порядка Δ)‚ и так в каждом  цикле 12-ти квинт. Поскольку интервал полутона содержит менее 4-х D (3.85, как показывает расчёт), то на пятьдесят третьей квинте  (12х4+5) образуется ступень фа № 54‚ которая «соединяется» с исходным значением  №1 фа (принятым за единицу) точно так же, как ранее 12-я квинта пришла в фа с образованием новой ступени №13 фа + комма.

При этом возникает новый положительный микроинтервал II порядка s величиной около 1/6.5Δ  (или 3.6 цента) - Фиг. 9.3. Им завершается первый цикл 53-х квинт. Как и в случае двенадцатиступенной системы, эта разница может быть равномерно распределена между пятьюдесятью тремя ступенями подобно тому, как это было проделано с пифагорейской коммой около времени И.-С.Баха (Фиг. 9.4).

Подобно тому, как первые 3 гармонических числа отвечают раз­делению интервала октавы на 2 квинты и 2 кварты с образованием  между ними  целого  тона, 5 чисел - образуют звукоряд пентатоники (не включащий полутонов),  7 – семиступенную диатоническую гамму с двумя полутоновыми интервалами (ми-фа и си-до¹)‚ и 12 чисел –  двенадцатиступенную полутоновую (хроматическую) гамму, произвольные 53 квинтовых номера‚ взятых в последовательном порядке‚ естественно дают 53-х ступенную гамму натурального  строя. Пифагорова комма, таким образом, является здесь естественным микроинтервалом, вытекающим из теоретико-числовой природы музыки, в основании которой лежит свёрнутая квинтовая цепь — см. Октава.

 

Так как в цикле 53-х  внутри каждого полутона образуется дополнительно по 4 микроинтервала коммы (Δ)‚ целотоновые промежутки подразделяются на 9 микроинтервалов («нон») - Фиг. 9.3. Семь из них в точности равны  Δ (23.46 цента), а два (между 4Δ⁺ и повышенной основной ступенью, а также увеличенной на 3Δ повышенной и основной ступе­нью) меньше на микротон s и составляют 0.85Δ  (около 20 цен­тов). Эта натуральная система легко преобразуется в 53-х ступенный равномерный темперированный строй -  Фиг. 9.4. Каждый микроинтервал δ в нём должен принять значение =  = 1.0131642 (около 22.64 цента)‚  отличаясь при этом от микроинтервала пифагорейской коммы Δ  на  1/29 её величины (порядка 0.8 цента).

 

Строение такой октавной гаммы может быть представлено в следующем виде:

 

                                                                       

Уникальность её в том, что звуки всех других строев (выражаемых, в частности, формулой 7n + 5m) не могут быть представлены в равномерной последовательности замкнутой цепи квинт, как это характерно только для 12-ти и 53-ступенного строев (Фиг. 9.1 и 9.6).

С целью нотации микрохроматически изменённых основных ступеней используем знаки /, //, /// для обозначения увеличенных на 1δ, 2δ и 3δ  и  \ , \\ , и \\\  для пониженных на 1δ, 2δ или 3δ. По причине, отмеченной выше, каждая из этих ступеней может быть двояко определена как кратно повышенная (#) либо кратно пониженная (b) основная. Замкнутый строй предполагает периодичность функций всех его звуков, таким образом, мы приходим здесь к сквозной Периодической тональной системе[4], в которой каждый звук выражается через любой другой - Фиг. 9.5.

 

                        

Поскольку эти обозначения применены именно с целью нотации, все звуки считаются отнесёнными в одну октаву. Если, к примеру, как следует из Фиг. 9.5, си диез соответствует /до, то само до есть при этом ля 8 бемолей (ми 7 диезов), либо фа 15 бемолей (соль 15 диезов), либо ре 23 бемоля (си 22 диеза), и т.д. В предельном случае замыкания цикла исходное до совпадает с до 53 бемоля (53 диеза), что в точности  заключает в себе интервал десяти октав.

 

Периодическая тональная система естественно связана с Квинтовым кругом 53-х тональностей (Фиг. 9.6), в котором ступени по окружности изменяются по квинтам, а по радиусу - в высотном порядке октавной гаммы:     

 

 

Заключительные тональности диеза в круге квинт энгармонически совпадают с соответственными тональностями бемоля:

                                            .                           

Суммарное число знаков альтерации - диезов и бемолей - в двух энгармонически равных тональностях при этом, как и должно быть, всегда остаётся равным пятидесяти трём.

Вопреки терминологическому разнобою и различиям в трактовке аспектов её теории музыка, очевидно, подчинена немногим простым и ясным закономерностям. Вероятно, как некогда и предполагал А.С. Оголевец, вся гармоническая теория может единообразно описываться на основе двух зависимостей, представленных на Фиг. 9.5. и 9.6.  

 

Если рассмотреть известный ещё издревле ряд из семи модусов (последовательность параллельных звукорядов, которые возможно построить на семи основных ступенях), то окажется, что уже ими в совокупности порождается девятнадцатиступенная хроматическая гамма (а именно, пять увеличенных + пять уменьшенных основных ступеней + две коммы при фа и си) — Фиг. 9.7. «Водоразделом» здесь выступают два тяготения между четвёртой и пятой ступенями, образованные интервалом тритона в 27δ (9+9+9), поскольку в 53-х ступенном (равно как и в квинтовом) строе сумма двух тритонов превышает интервал октавы на 1 микротон. Таких девятнадцатиступенных тональных гамм всего имеется 35, где для каждых семи последовательных обычных тональностей (мажора или минора) имеется один общий звук, пяти — три звука (тоника, квинта и кварта) и трёх — общие звуки тонического трезвучия.

 

Внутриполутоновыми интервалами задаётся основа натуральной микрохроматики - или так называемого «энармонического» (греч. έναρμόνιον  γένος - «стройный род») строя. Все эти ступени свя­зываются между собой через отношения практически чистых квинты и кварты (3:2 и 4:3): биения, создаваемые различием в 0.06% от натурального квинтового строя (сравнительная Таблица 1) в интервале музыкальных частот находятся уже за пределами слуха.  Поэтому звучание в пятидесятитрёхступенном строе подобно натуральному (правда, за счёт отказа от темперированного 12-ступенного звука, для многих уже более привычного). Двенадцатиступеневая темперация‚ как известно‚ становится возможной за счёт отказа от консонансов (намеренное введение биений является методом настройки темперированных инструментов).

 

  Малая терция 53-х ступенного равномерного строя подобна малой терции чистого строя (отличие в третьем десятичном знаке). Что касается большой тер­ции, неблагозвучность которой считается серьёзным недостатком квинто­вого строя (а в 53-х ступенном строе она ближе темперированной, чем чистой большой терции), то её «чистота» может  легко достигаться пониже­нием верхней либо повышением нижней ноты интервала на 1 микротон  (δ-альтерацией). Пониженная на  микротон ступень \ми отно­сительно до принимает значение частоты 1.248989, соответствуя интервалу в 389 центов,  практически идентичному «чистой» большой терции (386 центов). Таким образом, помимо квинтово-квартового родства в 53-х ступенном строе возможно определить и особый ряд звуков «терцового родства» (5:4), как некогда и предполагал Царлино.

 

 

Согласно порядку набора последовательных тональностей (Фиг. 9.6.) и постановки пальцев в обычной клавиатуре должно строить и 53-х ступенную клавиатуру. Она образуется по иному принципу, чем предложенный ранее Бозанкетом (и другими) путём введения дополнительных клавиш внутри каждого полутона. Каждая «октава» в такой клавиатуре содержит семь рядов по семь клавиш в порядке основных ступеней плюс четыре дополнительные клавиши (всего 53), включая в действительности отдельные ступени из соседних октав. Интервалы между клавишами в каждом ряду при этом сохраняются — Фиг. 9.8. [5]

 

За два с половиной столетия‚ прошедшие после Баха‚ западноевропейская композиция  практически исчерпала  весь свой первоначальный творческий потенциал‚ в значительной мере обязанный успеху 12-ти ступеневой темперации. В то же время попытки использовать микрохрома­тику предпринимались очень давно‚ и она была одним из основных родов античной  музыки. Творчество всех выдающихся композиторов со второй половины XX века демонстрировало стрем­ление  вырваться за пределы двенадцатизвуковой шкалы. Пятидесятитрёхступенный строй, приближаясь по звуковому составу к (не имеющей фиксированного звукоряда) восточной музыке‚  и  обладая вместе с тем качествами  темперированного  замкнутого строя (разнясь в этом отношении с собственно пифагорейской системой), даёт возможность использовать разработанные Западом гармонические средст­ва, в то же время значительно расширяя их границы. Вопрос‚ стало быть‚ в техническом воплощении - но эта проблема не встаёт для программируемых электронных инструментов.

 Можно предположить‚ что усилия, предпринимаемые как со стороны науки, так и современного искусства вывести западную циви­лизацию из духовного и экологического тупика - восстановить утраченное ею третье (осевое) измерение и‚ вследствие этого‚ переоценка многих уста­новленных ценностей - не минуют и такой формирующий лик культуры элемент, как основания её музыкальной системы.

 

 

 

Таблица 2. Частоты (Гц) основных музыкальных тонов для эталона ля¹ = 440 Гц в 53-х ступенном равномерном строе[6]:

        

                                                                                 

                                                                                

 

 

 

 

 

>>>>

 

на главную