<<< к началу а

 

При движении против часовой стрелки (квинтами вниз) получаются лзеркально-симметричные╗ диатоники нисходящими ступенями диезаВ смещённые наа D-микротона относительно параллельных им гамм бемоля (Фиг. 3.10. иа 3.17).

Каждое сечение круга диаметрома (то есть интервалом тритона 3⁶) образует новую семиступенную ладовую последовательностьВ на тонике которой можноа образовать соответственную (мажорную либо минорную)а тональную гамму. Движение квинт вверх, как уже было сказано, порождает тональности бемоля (а именно, Соль-мажор с одним бемолем, Ре-мажор с двумя бемолями и т.д. - Фиг. 3.16.). В музыкальной записи тональностей используется порядок семи нот, что требует седьмой квинты вверх си - фа^# и первой квинты вниз фа- си^b, знаки альтерации при этом, строго говоря, не обозначают полутона, а относятся к интервалу лувеличенной примы╗, образованному седьмой квинтой (Фиг. 3.15.). Это приводит к иному обозначению ступеней (посредством цикла семи, а не цикла пяти) [[1]], но - как может быть удостоверено - никак не сказывается на характере интервалов, что служит характерной чертой квинтового строя.а

Седьмая тональность Соль^b-мажор образована (в порядке порождения) стунпенями си-соль^b-ре^b-ля^b-ми^b-си^b-соль^bb, последняя есть фа^Δ+ (увеличенная на микротон). В принятой музыкальной нотации этот звукоряд (обозначаенмый как Фа^#-мажор) выражается через энгармонически равные ступениа диезаВ то естьа си-фа^#-до^#-соль^#-ре^#-ля^#-ми^#; последняя ми^# есть фа^Δ+. Точно так и в лмажоре семи диезов╗ (До^#-мажор, у нас обозначен как Ре^b) в принятом обозначенииа появляется до^Δ+ (ре^bb) вместо лседьмого диеза╗ си^# . Это же необходимо сказать и про тональности, образуемые лобратным ходом╗ квинт: сложенные ступенями фа-ля^#-ре^#-соль^#-до^#-фа^#-ля^## (=си^Δ-)-ре^## (=ми^Δ-)Е(Фиг. 3.9.), они записываются как фа-си^b-ми^b-ля^b-ре^b-соль^b-до^b(си^Δ-)-фа^b(ми ^Δ-) музыкальной нотации.

 

Особо обратим вниманиеВ что вхождение в тональные гаммы комматинческиа изменённых ступеней не нарушает величиныа интервалов:а интервал фа^D - ми^bВа напримерВ в точности равена целому тону (2 п/т + D)Ва фа^D - соль^b - полутону (1 т ─ п/т ─ D = п/т)Ва иа т. д.

Повышенные и пониженные ступени входят в различные гаммы (отндельные тональности диеза и тональности бемоля), посколькуа и те и другие неа охватываются одним полукругом. При движении по квинтовой спиралиа знанчения ступеней, с каждым лоборотом╗ испытывая смещение на комму, могут, вообще говоря, принимать любое высотное положение в октаве, но любые 5В 7, 12 или 17 ступеней[2][15], взятые подрядВ всегда образуют правильную полную гамму - последовантельность звуков, сохраняющих между собой определённый порядока интервалов - лквинтовые расстояния╗.

 

Рассматриваемая музыкальная системаВ являющаяся единственной математиченски последовательной, содержита и максимальное теоретически возможное число мелодических и гармонических построенийВ Ц мы умышленно не акнцентируем здесь внимание на вопросах реальной мунзыкальнойа практики (см. Приложение 2).

 

В лспирали квинт╗ циклы 5-ти (нотируемые альтерационными знаками # и b)В и циклы 7-ми (выражением которых служат тональности) проявлены совместно как две стороны цикла 12-ти. За пернвый пятиричный цикл достигается приближение к исходному значению (№1 фа) на интервал полутона - 3⁵/2⁸ (№6 ми = фа^b), и далее числа ступеней повторянютсяа с понижением на полтона. Начиная са №7 си (= до^b) возникает новое явление Ца деленния интерваловВ как бы претерпев зеркальное отраженние (Фиг. 6.9.)В начинают симметрично ложиться менжду образованными ранее тоновыми промежутками: ось билатеральной симметрии в круге первых 12-ти ступеней проходит череза фа и си. Так проявляет себяа в Октавеа двоичныйа порядока тетрактидыа - Фиг. 3.18.

Важнейший результат, который мы должны здесь признать, Ц что вся система соответствий, выявляемая анализом квинтового строяВ есть отражение законова числа.а Она опирается на наиболее общую оппозициюа лчёта и нечета╗, свойственную уже форнмальной логике и отображённую двоичной алгеброй Буля. Древняя теонрияВ связанная для нас с именами Пифагора и ПлатонаВ находилаа реализациюа учения о тетраксе в сквозной системе гармоническойа пропорциональностиВ образованнойа отношениями степенейа 2 и 3 и порождающей числа расчленения единого тела космоса с возникновением движения и лтела времени╗ космоса. Аналогию обнаруживает древнекитайнская натурфилософская и мантическая традицияа в игре лчёта╗ и лнечета╗ символов Восьми триграмм и двоичных раскладов Канона Перенмен (И цзина) - содержащихВ во что легко поверитьВ исчерпывающее учение о струкнтуре симметрии вещей и событий.а Маятникообразный характер раскачивания лтуда-сюда╗В в определённой точке неожиданно лпеременяющий шаг╗ и напоминающий поведение многих странных аттракторовВ мы находима в основном цикле 12-тиа в ряду проявленияа наиболее значимых отношений Октавыа (Фиг. 3.18).

 

Через двенадцать номеров совершается максимальное приближение к иснходному значению №1 фа Ц двенадцать квинт результируют в №13 с отличием от единицы лишь в 1/8,69 тона (микротон^а I порядка D). Этим знаменуется началоа следуюнщего порядка октавного деления.а Как мыа видели раньше, первый этап разделения октавы отмечен отношением квинты, следующий Ц образованиема целотонового интервалаа (3²/2³)а лзеркальным отражением╗ квинты (как следнствие обратимости четверицы), и третьим шагом Ц образованиеа V-й квинтой интервала 3⁵/2⁸, отвечающего полутону.

а С первой квинтой (и её обращением) очертив максимальную амплитуду октавы (до=3/4, до¹=3/2), значения интервалов далее то приближаются (№3 соль, №6 ми), то удаляются от единицы;а сперва происходит заполнение бєльшими (1 тон), затем меньшими (полутон) промежутками. В №№ 6 и 7 (ми и си) мы наблюдаем пределы целотонового заполнения, ноа пока полутонновые деления ещё не вклиниваются в промежуткиа между основными ступеннями (Фиг. 6.9.а). С 7-й по 11-ю квинту (ступени №№ 8-12) между интервалами тона вступают полутоновые деленияВ порождая пять -альтерированныха ступеней. Наконец, 12-я квинта (в ступени №13), возвращаясь к фа, производит четвёртый по порядку результат деления Ц микротонновый (лпифагорейская комма╗).

а Итак,а двенадцатиступенный квинтовый цикл необходимо завершается микротоновым делением (Δ)В без которого невозможно образование правильных тональных гамм (Фиг. 3.17). Опуская квинты вниз (двигаясь против часовой стрелки от №1 фа) мы будем полунчать ступени, отделённые микротоновым промежутком от полученных лпранвым движением╗ квинтового круга Ц лэнгармонически неравные╗ ступени диеза, образующие с аналогичными ступенями бемоля интервалы 3¹²/2¹⁹.

Завершение круга двенадцати понижающихся квинт даст и семь оснновных ступеней, уменьшенных на микротон (Δ^-) - Фиг. 3.9. Семь основных ступеней с равноправными (и неравными между собой) десятью стунпенями диеза и бемоля образуют 17-ступенную гамму (с восемнадцатой ступенью Ц верхним до)Ва содержащую в себе основуа полнойа системы ладов натурального строя (беза микрохроматики) - Фиг. 3.18а.

Кака отмечено ранее, любые взятые подряд 17 ступеней, полученных хондами квинты, образуют аналогичные гармонические последовательности,а сдвинутые друг относительно друга на интервалы микротонов.

 

аОсновные этапы октавного деления - квинтово-квартонвое, диатоникаа и хроматика Ц задают известное соотношениеа Сефер ЙецирыВа основополагающего источника Кабалы:а 3 лбуквы-матери╗, 7 букв лдвойнных╗ и 12 лпростых╗, или всего 3+7+12 = 22 буквы библейского алфавита. Этими числами образованыа 22 Великих Аркана Таро (подробнее см. ниже).

Поскольку каждый цикл 12-ти квинт приводит к смещениюа на значение коммы (микротона D)В пять кругов по 12 квинт дадута микрохроматическоеа деление каждого полутона на 2 четвертитона по 2DВ носящих греческое наименование аδιεσα (лдиеса╗) -а систему, котораяа лежала в основе античных энармонических ладов - Фиг. 3.15аа и а3.19.

Полутон 2⁸/3⁵, как можно подсчитать, вмещает около 3,85Δ (т.е.Δ^3,85 а256/243), а это означает, что четыре микротоновых интервала внутриа полутона на пятом круге квинт порождают пятый порядок деления ОктавыВ который мы обозначаем буквой s (лсигма╗) - микротон II порядкаВ составляющий около 0,15 или 1/6,5Δ - Фиг. 3.19.

Ступень №49=1+12х4 соответствует фа^4Δ = фа^#s+, а №54=49+5а - ми^4Δ = фа^s+,а превышающей значениеа №1фа = 1 лишь на величину s. Таким обранзом, мы имеем здесь цикл с лшагом╗ в 53 ступени (№54 = 1+53) Ц следующий после циклов 5-ти аи 12-ти.

 

Здесь мы уже покидаем пределыа музыкальных отношенийВ занключённых в двенадцати ступеняхВ и переходим на микроуровни строения Октавы. Одно из характернных её свойств проявлено в параллелиа шестидесянтиричного (7 + 53) и семиступенного (диатониченского) циклов - Фиг. 3.20. Более того, к седьмой ступени си (шесть квинт) лежит близко и гармоническое число №260 (259 квинт), как это недвусмыснленно подтверждает компьютерное моделирование пифагорейского ряда - Фиг. 3.21.а Священный календарь древних майа - Цолькин (20х13) - оказыванется не намного экзотичнее, чем циферблат обыкновенных наручных часов. В обоих случаях мыа оказываемсяВ вероятноВ перед лицом традиции столь же древнейВ сколь и давно забытой.

а

Первая известная позиционная система счисленияВ пришедшая из Шумера (начало III тысячелетия до н.э.) строилась на двух основаниях - 10 и 60, общий делитель которых (5) даёт число 12. Двенадцать разрядов по пять приводят к значению 60 тем же самым способомВ какой мы видим на Фиг. 3.20.

 

Ходыа квиннтамиа вверх на каждом пятом номере принводит к понижению на полтона () ва цикле 5-ти;а ими же на каждом 12-ом номере добавляется одно значение микротона D (цикл 12-ти). За двенадцать пятеричных цикнлов мы получаем 11 бемолей, они начинают счёт со второго циклаа (ступениа №1+5 ми = фа^b). Наряду с этимВ от начала второго двенадцатиричного цикла (т.е. стунпени №13) начинают прибавляться микротона: за пять микротоновых циклов (т.е. 12 х 5 = 60 квинтовых шагов) мы имеем 4 микротона ∆. Четыре ∆ аналонгичны повышению на полтона (#)В но превосходят последний на микротононвый интервал второго порядка s (равный 0,15 ∆). На Фиг. 3.20.аа прямоугольная таблица 5 х 12 завершается №60 ля^11bВ что равнозначно (при перенесении в исходную октаву) ля^#. Если же учесть при этом повышение на 4D за пять двенадцатиричнных циклов, то эта ступень эквивалентнаа си (№7 + 53) с приращением s. Величина s достаточно мала (1/6.5 коммы или 3.6 цента)В - а мы знаемВ чтоа циклы Октавы (как и циклы природы) никогда не смыкаются вполнеВ - так что прямоугольную таблицу 12х5= 60 мы можема уравнять по итогу с квадратом 4 х 4 семинступенной диатоники (Фиг. 3.5б), который открывается №1 фа и завершается №7 си.

аааааааааа Как и следует ожидатьВ следующая за си^s квинта дает соль^b (с приранщением s), аналогичную №8 круга квинтВа и т.д.

аσ-смещения ступеней точно так же, как ранее рассмотренные Δ-смещенияВ сохраняют неизменными все пропорции и отношения внутри октавных гамм. лДрейф абсолютной высоты тоники╗ в рамках существующей музыкальной концепции вряд ли кому покажется желательнымВ однако для музыкальных культурВ не ограничивающих себяа фиксированным звукорядомВ такой проблемы не возникает.

 

Не менее поразительными лсовпадениями╗ отмечено появление следующих за циклом 53 микнроинтервалов. Если продолжить отсчёты с новой позицииВ то ещё через 53 квинты или номером стунпени №54+53=107 мы получим фа^2s со вторым приращением sВ ещё через 53 квинты - №107+53=160 фа^3s и так далее; по завершении седьмого цикла а53-х ступень фа^7s за номером №54 + 53 х 6 = 372 достигнета (и превысит ещё на какое-то микротоновое деление) значение ступени фа^D№13 (поскольку s⁶< D <s⁷). Если №13 приходит в соответствие с №372В то №360= 372─12В оченвидноВ отвечает №1фа = 13─12В так что следующее лвозвращенние╗ октавы происходит ровно на 360-м номереВ что подтверждаетсяа компьютерным моделирование пифагорейских гармонических чисел - Фиг. 3.22.

Нетрудно расчётом лна пальцах╗ получить и ещё более близкое микронтоновое приближение к единичному значению №1. Поскольку интервал окнтавы 2 содержит 51 микротон I порядка D плюс один микротон II порядка sВ то приращение комм D с каждым циклом 12-ти ступеней за 51х12=612 номенров покроет интервал в 51DВ но для получения малого приращения sВ как мы знаемВ нужен ещё период в 53 ступени. Прибавив к №1фа 51 цикл по 12 нонмеров и один в 53 номераВ мы должны получить искомое значение ступениа №1+51х12+53=№666 - ближайшее лсоединение╗ ходами квинты с начальным фа среди более чем 16 тысяч первых гармонических чисел - Фиг. 3.22. ТакВ занимаясь совершенно безобидным деломВ мы невзначай вплотную приблизились к лэсхатологической теме╗ (но об этом ниже).

 

На примере микротоновых циклов мы наблюдаем пульсации вокруг единицы - значения первого фа; в пределах ▒ D лвозвращения╗ в №54 (1+53)В затем в №307 (1+ 306)В №360 (1+53+306)В №666 (360 + 306) и №972 (666 + 306)Ва но значимыми в построенииа паттернов Октавы - как легко убедиться - являются лишь те из нихВ что образуют с №1 новые микроинтервалы (Фиг. 3.22, 3.28а). Эти периоды зависимы один от другогоВ демонстрируя при этом связь са модулем восемнадцати:

 

54аа =а 3х18В

306 = 17х18В

360 = 20х18Вааааааааааа (3).

666 = 37х18В

972 = 54х18

а

Могут быть обнаружены и лциклы циклов╗, когдаа ступень, совершив круг микротоновыми шагами через всю октавуВ возвращается к своему исходному положению. Если для Δ этот период составляет 612 (1251В 12 -а цикл добавления DВ а в интервале октавы а51.1508725Δ (D^51.15 =2), тоа для σа он порядка 17600 квинтовых шагов ( 53332 = 17596, где 53 - цикл sВаа 331.95 Ца число σ в октаве (s^331.95 =2)В а для t - микроинтервалаа периода 665 -а околоа 10 558 980.аааааа

Микроинтервалы или коммы связываются определённными характеристиками величин. лТочных решений╗ здесь быть не может:а ненклассическая математикаа паттернов имеет в большей мере не количестнвенныйВ а качественный характер,а и - подобно лнатуральным философам╗ прошлого - она стремится проникнуть в тот сокрытый языка на котонромВ по словам ГалилеяВ говорит сама Природа. Между интервалами каждого уровня лфрактальной паутины╗ всюду вклиниваются интервалы уровней вышележащихВ демонстрируяа закономерностьа постоянного отклоненния от правильностиВ столь свойственную действиям природыа иа столь отнличную от принциповВ изобретённых умом человека:

 

лв регулярных возвращениях повторяющихся событийВ воспринимаемых нами как ритмВ мы наблюдаем постоянные слабые отклонения от правильности╗В

а- говорит Говинда Анагарика [[3]].

 

Эти слабые отклонения есть выражения того же фрактального законаВ проявленные на другом уровне.

 

аПохожиеа паттерны мы открываем и в натуральном ряду чисел Фибоначчи (см. Приложение 1).

 

аТак, пифагорейская комма Δ или микротон 1 порядка есть отношениеаа интервалаа целого тона к двум (пифагорейским) полутонам, а 5Δ Ц отношенние интервала октавыа к 12-ти полутонам. Если последовательно отложить 51Δ (Δ⁵¹), то мы пройдём весь промежуток октавы 2, но останется ещё промежуток: Δ⁵¹ = а- танков этот малый интервал, по величине практически равный микротону σ (σ = 1.0020898, отличие в пятом десятеричном знаке). Микротон II порядкаа s прежде был получен нами как результата отношения 4Δа ка полутону ва цикле 53-х ступеней (ср. Фиг. 3.19).

Каждое смещение на 4 микротона Δ ва цикле 53-х адобавляет 1 микронтон σа ка интервалу примы (фа №1). Пятьдесят два микротона Δ, целиком покрывая октаву, содержат 52:4 =13а циклов по 4Δ, то есть порождают 13σ. Точно так же октава вмещает тринадцать натуральных полутонов: (256/243)¹³ = 1.969. Паттерн 13-ти образуется и как лмикрооктава╗ внутри D периодами в 359 ступеней (Фиг. 3.25). Значениеа тринадцати как октавного паттерна будет ещё показано нами ниже в связи с календарннымиа циклами (Гл. 4).

Если разделить на 13 период цикла 665 (важнейшего в организации микнроуровня октавы)В то полученное значение 51.1538 явится хорошим приблинжением к логарифмическому выражению для микроинтервала I порядка D. Микнроинтервал третьего порядка τа (образуемый ступенью №666 с №1 фа) близок отношению σ /μ = 1.000038;а аа содержание τ в σ составляет 54.5 (τ^54.5 = σ). Опять же, если Δ содержит 6.5 σ, а целый тон Ц 8.69Δ, то в нём заключено 56 σ. Наконец, 331.9 σ в октаве по отношению к 13 σ периода , составленного 52 Δ, есть 331.9/13 = 25.6 или около полонвины от 52-х. Количество микротонов σ в микротоне Δ само по себе есть половина от 13-ти (13:2 = 6.5), а число интервалов τа ва Δа ааприближается к значениюа циклаа 359.

К количеству s в октаве близко отношение целой и десятичной части логарифмического выраженияа для интервала D (51/0.1508725 = 338.04)В а такжеа отношение логарифмов D и tВ показывающееВ сколько микроинтернвалов III порядка t (или циклов 665) содержится в D. Если же взятьа отношенние D к десятичной частиВ дополняющей его до целогоа (т.е. 52=13х4 DВ полностью покрывающих интервал октавы)В то результатом бундет ашестьдесят (51.150Е/0.849...= 60.247). Число квинтовых шаговВ за конторое интервал 2 проходится циклами s (332 х 53= 17596)а указывает на порядока количества tа в октаве (lg2/lgt =15878.165). Интервал цикла 665 укладывается 24 раза внутри интервалаВ образуемого № 360;а и 665х24 = 15960 -а за столько квинтовых шагов периодами t покрывается этот интервалВ и это значение тоже близко 15878. ОчевидноВ что количество подобных примеров можно умнножать до бесконечности:а всеа числовые характеристики Октавыа связаны между собойа иа вытекают из её базовогоа отношения чётного и нечётного [[4]].

ОтметимВ кроме того, что нумерологические суммы 17-ти и 53-х ступенных гамм составляют 8 (1 + 7 и 5 + 3) - октаву, или же 9 - эннеаду (лчисло полноты╗), если их брать с верхнимиа доа (1 + 8 и 5 + 4). Эта же октава присутствует во всех циклах периодова 305В 359 и 665 квинт 3+5=8, 3+5+9=17, 6+6+5=17, 1+7=8) - и девятка, если мы берём целые значения фа №306, №360 и №666а (3+6=9, 36=18, 1+8 = 9). лГармоническое 13╗ нумерологически есть четыре (1 + 3) - тетракс, само же при этом являясь суммойа 4 + 9.

 

аУпомянутые сопоставления станут особенно любопытны в той мере, в какой они будут рассмотрены в связи с числами времени - кака представляется, сориентированного на Октаву как на числовой архетип.

 

В этой связи внимательный читатель должен заметить, что открытым остался вопрос о форме лквинтовой спирали╗. Как видно из Фиг. 3.9. и 3.10.а, внешние её витки слагаются ступенями повышающихся квинт (по лвозрастанию бемоля╗), а внутренние Ц ступенями понижающихся квинт (по лвозрастанию диеза╗). Но уже с №54 величины лишь на σ (1/6.5 коммы) разнятся от лосновных ступеней╗а №1-№7фа-си, и далееВ а №№49-53 с различием s аналогичны ступеням диеза (фа^#-ля^#). В самом делеВ лспираль╗ - если можно так выразиться - состоит из фрагментов лспиралей╗, рисуя при этом никак не правильную линию, а фрактальное множество. Похожая траектория в начале ХХ в. была получена Анри Пуанкаре при изучении механической задачи о движении трёх тел (а сейчас они известны как хаотические или странные аттракторы):

 

лКогда пытаешься представить фигуруВ образуемую этими кривыми и бесконечными их переплетениямиЕ обнанруживаешь некую сетьВ паутинуВ или бесконечную густую решётку; ни одна из этих кривых никогда не может перенсечь саму себя [выдел. мною - Б.С.]В но должна закручиваться очень сложным образомВ чтобы обогнуть нити паутины бесконечно много раз. Поражает сложностьа этой фигурыВ которую яа даже не пытаюсь нарисовать╗ [[5]].

 

Время тоже фрактальноВ а не континуально - являя как бы мозаику из множенства кусочков единого целого, в чём сходятся свидентельства всех мистиков, - и это добавляет весомости платонову аргументу о связи Октавы с природойа времени.

 

Получаемый в результате итеративного процесса (1) ряд гармонических чисел образует лфрактальную паутину╗ на отрезке 3/4-3/2 оси рациональнных чиселВ покрывая его как угодно плотно. В соответствии с лфрактально-голографическим принципом╗ в нём можно проследить не только отношения I порядкаВ вытекающие из характера двенадцати квинтовых ступенейВ но и узорыа микроуровней Октавы при компьютерном моделировании тысяч и миллионов её номеровВ в которых мельчайшиеа отрезки вновь и вновь повторяют свойства целого. В приводимых ниже гистограммах и таблицах дано распределение ступеней по их абсолютным значениям в интервале октавыВ каждому номеру ступениа видаа 3ⁿ/2^mа сопоставлены числа показателей степени n и m (Фиг. 3.23.-3.28.). Повышениеа разрешения с ростома количества считаемых номеров выявляет всё новые интервалы внутри обнаруженных ранее (Фиг. 3.27 а-с.). Как поканзано выше (3)В паттерны уходящиха вглубь уровней слагаются на основе отношений периодов уровней вышележащих. Порождаемые их числами лметры╗ не фиксированыВ но подвижны по отношению друг к другу:а все они движутся в определённом ритме как колёса в часах с неизнменной точностьюВ вновь и вновь возобновляя свойства Октавы как целого в каждой её части.

 

Наиболее характерным числовым модулема микрооктавы выступает цикл 665 (микроинтервал t = 1/2802 целого тона)В повторяющий основной рисунок двенандцати ступеней - аФиг. 3.22В 3.25 и 3.26. С циклом t тесно связан и патнтерн 13-ти внутри интервала D (Фиг. 3.24)В что не удивительноВ поскольку 13 умноженное на 51.15D даёт 664.95 - значение оченьа близкоеа периодуа 665.

аПри разрешении порядка 190 000 номеров (Фиг. 3.27б)а рисунок в иннтервале t слагается циклами ступенейа +111202 иа ─79335 с разностью между ними 31867В регулярно повторяемымиа на протяжении всех 15878 t октавы. Для двенадцати ступенейа их распределение по величине создаётся числами номерова +7 и а─5 с разностью 2 (Фиг. 3.11 и 3.22.). Отношениеа 7:5:2 ав десятичном выражении составляет 1.4 : 1 : 0.4В а для вышеупомянутых периодова 111202 : 79335 : 31867а равно а1.4017 : 1а : 0.4017В отличаясь от первого лишь на семнадцать тысячных долей.

аа

Из Фиг. 3.27а-с можно видетьВ что все образующие числа периодов возникают как ступени новых микроинтерваловВ превышающих на некоторую величину единичное значение №1фа. После № 666 следующий микроинтервал создаётся в ступени № 16267 (Фиг. 3.27в)В и все более высокие периоды могут быть разложены на циклы этих двух последнних как на составляющие:

а

16266ааа =ааа 665аа ха 24а +а 359 ─ 53В

31867ааа =а 16266а хаа 2а ─аа 665В

79335ааа =а 16266а хаа 5а ─а 665а ха 3В

111202а =а 16266а хаа 7а ─а 665а ха 4В

190537а =а 16266а ха 12 ─а 665а хаа 7Ва

301739а =а 16266а ха 19 ─а 665а ха 11Ва и т.д.

 

ааааааааа Канждый период всё более высокого порядка тем или иным образом численно выражаетсяа череза значенияа периодова нижележащих:

 

ааааааааааааааааааааааааааааааааааааа 190537аа =а 31867аа ха 6ааа ─аа 665В

ааааааааааааааааааааааааааааааааааааа 1826035 =а 31867аа ха 57а +аа 665 х 15 ─ 359В

ааааааааааааааааааааааааааааааааааааа 1826035 =а 190537а ха 9аа +аа 111202Ваа и т.д.

а

 

а

665 было выведено нами ранее из циклов 12-ти и 53-х (12 х 51+53 =665)В а 53а производится от 12-ти и 5-ти (12 х 4 + 5 =53). Можно заключить поэтомуВ что в основе всех числовыха периодов Октавыа лежит основное гармоническоеа отношение 7:5В отмеченное нами выше как основополагающее для паттерна двенадцати ступеней; а если взять ещё глубжеа - то священныйа τετραχ. Такого рода принципы фрактальной организации обнаруживаются в представлении членов натурального золотого ряда Фибоначчи - иВ вероятноВ справедливы для многих других лчисловых объектов╗ (Приложение 1). ВозможноВ что все так называемые лбольшие числа╗ физики и математики - согласно пифагорейско-неоплатонической доктрине - сводятся в конечном итоге к двум лфундаментальным кирпичикам╗ - чёту и нечету.

 

Но - вся эта пифагорейская арифметика - имеет ли она отношение к музыке? Не исключено что даВ еслиа пода музыкоюа пониматьа ужеа гармоннию сфер.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<<<ааа >>>

 

на главную

 

 

словарь музыкальных терминов